Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），函数f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为

3

2

．
（1）求a值及函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+

m

2

]在区间（1，3）上不是单调函数（其中f′（x）是f（x）的导函数），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数求导，然后由由已知f'（4）=

3

2

，可求a．再求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（2）由切线斜率为

3

2

，可求出a值，进而求出f（x）、f′（x），因为g（x）在区间（1，3）上不单调，所以g′（x）改变符号，从而得到m所满足的条件．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
 f'（x）=

a(1-x)

x

   …（2分）
由 f'（4）=-

3a

4

=

3

2

 得a=-2   …（4分）
所以f'（x）=

2x-2

x

（x＞0）
由f'（x）＞0，得x＞1；f'（x）＜0，得0＜x＜1
所以f（x）的单增区间为（1，+∞），单减区间为（0，1]…（6分）
当a=-2时，若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0；若x∈（0，1），则f′（x）＜0，
∴当a=-2时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（0，1]；
（2）g（x）=

1

3

x3+(

m

2

+2)x2-2x                    …（7分）
g'（x）=x²+（m+4）x-2                  …（8分）
因为g（x）在（1，3）不单调，且g'（0）=-2   …（9分）
所以 

g′(1)＜0 g′(3)＞0

         …（11分）
即 

m＜-3 m＞- 19 3

         …（12分）
所以m∈（-

19

3

，-3）．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程、导数与函数单调性的关系，利用导数解决问题的能力，注意数形结合思想的应用．