Question

11．已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠ADC=60°，四边形ABEF为短形，且平面ABEF⊥平面ABCD，AD=DC、AF=AB=2，点G为AE的中点．
（1）求证：CG∥平面ADF
（2）求证：平面ACF⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （1）取AF中点H，连接DH，GH，证明四边形CDHG为平行四边形，可得CG∥DH，利用线面平行的判定定理，即可证明：CG∥平面ADF；
（2）证明：FA⊥BC，AC⊥BC，即可证明BC⊥平面ACF，从而可得平面ACF⊥平面BCE．

解答 证明：（1）取AF中点H，连接DH，GH，
∵G为AE的中点，
∴GH∥EF，GH=$\frac{1}{2}$EF，
∴四边形CDHG为平行四边形，
∴CG∥DH，
∵CG?平面ADF，DH?平面ADF，
∴CG∥平面ADF
（2）∵四边形ABEF为矩形，且平面ABEF⊥平面ABCD，
∴FA⊥平面ABCD，
∴FA⊥BC，
∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠ADC=60°，
∴∠DAB=120°，
△ADC中，∠ADC=60°，AD=DC=2，
∴AC=2，∠DAC=60°，
△ABC中，AC=2，AB=4，∠CAB=60°，∴BC=$\sqrt{3}$，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面ACF，
∵BC?平面BCE，
∴平面ACF⊥平面BCE．

点评 本题考查线面平行、平面与平面垂直，着重考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识，属于中档题．