Question

已知函数f(x)＝x³－ax²＋b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)－mx在区间[－2,2]上为减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝3x²－3ax，

令f′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝a，

∵a>1，

∴f(x)在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．

∴f(0)＝b＝1，

∵f(－1)＝－a，f(1)＝2－a，∴f(－1)<f(1)，

∴f(－1)＝－a＝－2，a＝.

∴f(x)＝x³－2x²＋1.

(2)g(x)＝x³－2x²－mx＋1，g′(x)＝3x²－4x－m.

由g(x)在[－2,2]上为减函数，

知g′(x)≤0在x∈[－2,2]上恒成立．

∴，即∴m≥20.

∴实数m的取值范围是m≥20.