Question

【题目】已知数列的前项和为，且.其中为常数.

（1）求的值及数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立 ，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由题意知中，令，求得，即，所以两式相减整理得，利用等比数列的通项公式，即可求解．

（2）由（1）可得，利用“裂项”法求得，根据题设化简得对任意恒成立，记，分为奇数和为偶数讨论，求得的最大值，即可求解．

（1）由题意知中，令，得，又，解得，

即，所以，

两式相减得，整理得，

数列是以，公比为2的等比数列，所以．

（2）由（1）可得，

所以，

由对任意恒成立，

得对任意恒成立，

记，，

（1）当为偶数时，，

若，则，又，所以.

（2）当为奇数时，，则，

若，为奇数，则，即，

若，为奇数，则，即，所以，

综合（1）（2）知，

所以实数的取值范围是.