Question

已知a＞0，将函数f（x）=

1

2

ax²-a的图象向右平移

1

a

个单位再向下平移

1

2a

个单位后得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；
（Ⅱ）当a=

1

2

时，求g（x）在区间[-4，3]上的最大值与最小值；
（Ⅲ）若函数g（x）在[

2

，2]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若将函数f（x）=

1

2

ax²-a的图象向右平移

1

a

个单位再向下平移

1

2a

个单位后得到函数g（x）的图象，则先x减

1

a

，再整个解析式减

1

2a

，就得到函数g（x）的表达式．
（Ⅱ）当a=

1

2

时，函数g（x）是一个以x=2为对称轴，开口向上的二次函数，由二次函数的图象和性质即可求得其在区间[-4，3]上的最大值与最小值；
（Ⅲ）由于函数g（x）是以x=

1

a

为对称轴，开口向上的二次函数，定义域为[

2

，2]，故需要讨论对称轴与定义域区间的位置关系，才能确定函数的最小值，由此列出分段函数h（a），最后求这个分段函数的最大值即可

解答：解：（Ⅰ）将函数f（x）=

1

2

ax²-a的图象向右平移

1

a

个单位得到函数y=

1

2

a（x-

1

a

^）2-a的图象，
再向下平移

1

2a

个单位后得到函数y=

1

2

a（x-

1

a

）²-a-

1

2a

 的图象． 
∴函数y=g（x）的表达式为g（x）=

1

2

a（x-

1

a

）²-a-

1

2a

             
（Ⅱ）当a=

1

2

时，g（x）=

1

4

（x-2）²-

3

2

 
∴函数g（x）是一个以x=2为对称轴，开口向上的二次函数                           
∵x∈[-4，3]，
∴当x=2时，g（x）_min=-

3

2

                     
当x=-4时，g（x）_max=

15

2

                                       
（Ⅲ）函数g（x）的对称轴为x=

1

a

＞0，开口向上，
①当0＜

1

a

＜

2

，即a＞

2

2

时，函数g（x）在[

2

，2]上为增函数，
∴h（a）=g（

2

）=

1

2

a×（

2

-

1

a

）²-a-

1

2a

=-

2

                                            
②当

2

≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤

2

2

时，
h（a）=g（

1

a

）=

1

2

a×（

1

a

-

1

a

）²-a-

1

2a

=-a-

1

2a

．              
③当

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

时，函数g（x）在[

2

，2]上为减函数，
∴h（a）=g（2）=

1

2

a×（2-

1

a

）²-a-

1

2a

=a-2                            
综上可知，h（a）=

- 2 ，    a＞ 2 2 -a- 1 2a ，   1 2 ≤a≤ 2 2 a-2，          0＜a＜ 1 2

∵

1

2

≤a≤

2

2

时，h（a）=-a-

1

2a

=-（a+

1

2a

）≤-2

a× 1 2a

=-

2

∴当a=

2

2

时，h（x）_max=-

2

∵0＜a＜

1

2

时，h（a）=a-2＜

1

2

-2=-

3

2

＜-

2

∴当a≥

2

2

时，函数h（a）的最大值为-

2

点评：本题考察了函数图象的变换，二次函数的图象和性质，求二次函数在闭区间上的最值方法，分段函数的性质，分类讨论的思想方法