题目内容
已知向量
=(sinx，1)，
=(
Acosx，
cos2x)（A＞0），函数f(x)=
•
的最大值为1．
（1）求A的值；
（2）设α，β∈[0，
]，f(
+
)=
，f(
+
)=-
，求cos（α+β）的值；
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，
]上的值域．
| m |
| n |
| 3 |
| A |
| 2 |
| m |
| n |
（1）求A的值；
（2）设α，β∈[0，
| π |
| 2 |
| α |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
| β |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| 5 |
| 13 |
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移
| π |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
| 5π |
| 24 |
分析：（1）先对f（x）进行化简，变为一角一函数的形式，然后由其最大值可得A；
（2）由f(
+
)=
，可得cosα，由f(
+
)=-
，可得sinβ，利用平方关系可得sinα，cosβ，再利用和角的余弦公式可得答案；
（3）先根据图象的平移变换规律求出g（x），然后由x的范围求出g（x）的值域；
（2）由f(
| α |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
| β |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| 5 |
| 13 |
（3）先根据图象的平移变换规律求出g（x），然后由x的范围求出g（x）的值域；
解答：解：（1）f(x)=
•
=
Asinxcosx+
cos2x
=A(
sin2x+
cos2x)=Asin(2x+
)，
因为f（x）的最大值为1，所以A=1．
（2）由（1）得f(x)=sin(2x+
)，
f(
+
)=sin(α+
+
)=cosα=
，f(
+
)=sin(β+
+
)=-sinβ=-
，即sinβ=
，
因为α，β∈[0，
]，所以sinα=
，cosβ=
，
故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=
×
-
×
=
．
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移
个单位后得到y=sin[2(x+
)+
]=sin(2x+
)的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到y=sin(4x+
)的图象．
因此g(x)=sin(4x+
)．
∵x∈[0，
]，∴4x+
∈[
，
]，
故g（x）在[0，
]上的值域[-
，1]．
| m |
| n |
| 3 |
| A |
| 2 |
=A(
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
因为f（x）的最大值为1，所以A=1．
（2）由（1）得f(x)=sin(2x+
| π |
| 6 |
f(
| α |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
| β |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5 |
| 13 |
| 5 |
| 13 |
因为α，β∈[0，
| π |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
| 4 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
| 16 |
| 65 |
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
因此g(x)=sin(4x+
| π |
| 3 |
∵x∈[0，
| 5π |
| 24 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
故g（x）在[0，
| 5π |
| 24 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查三角函数的恒等变换、图象变换及向量数量积的运算，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．
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