Question

已知函数y=f（x）满足：4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），且f(1)=

1

4

，则f（2014）+f（2015）=

0

．

Answer 1

分析：令y=1代入恒等式，结合f(1)=

1

4

，得f（x）=f（x+1）+f（x-1），由此证出f（x+6）=f（x），可得函数f（x）是周期T=6的周期函数，利用周期性，将f（2014）和f（2015）转化为求f（4）和f（5），计算即可求得答案．

解答：解：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），
∴令y=1，可得，4f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1），
又∵f(1)=

1

4

，则有f（x）=f（x+1）+f（x-1），①
用x+1替换x，得f（x+2）=f（x+1）-f（x），②
∴①+②得f（x+2）=-f（x-1），
再用x+1替换x，得f（x+3）=-f（x），③
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），
∴函数f（x）是周期T=6的周期函数，
∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4），f（2015）=f（335×6+5）=f（5），
∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
令y=0，得4f（x）f（0）=2f（x），可得f（0）=

1

2

，
令x=y=1，得4f²（1）=f（2）+f（0），可得f（2）=-

1

4

，
令x=y=2，得4f²（2）=f（4）+f（0），解得f（4）=-

1

4

，
在③中，令x=2，则f（5）=-f（2）=

1

4

，
∴f（2014）+f（2015）=f（4）+f（5）=0．
故答案为：0．

点评：本题给出抽象函数满足的条件，求特殊的函数值．着重考查了函数的定义、函数值的求法和赋值法研究抽象函数的等知识．准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期．属于中档题．