Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x） 在（-7，+∞） 内单调递增；
（2）若关于x 的方程f（x）=x+m 在[1，2]上有解，求m 的取值范围．

Answer 1

（1）证明：任取-7＜x₁＜x₂＜+∞，
则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2

2x1+1

2x2+1

，…（4分）
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1+1＜2x2+1 
∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，log2

2x1+1

2x2+1

＜0 
∴f（x₁）＜f（x₂），…（7分）
所以，函数f（x） 在（-7，+∞） 内单调递增．…（8分）
（2）m=log₂（2^x+1）-x=log₂（2^x+1）-log₂2^x=log2(1+

1

2x

)，…（11分）
当1≤x≤2 时，

1

4

≤

1

2x

≤

1

2

，

5

4

≤1+

1

2x

≤

3

2

 …（13分）
∴log2(

5

4

)≤log2(1+

1

2x

)≤log2(

3

2

)，即log2(

5

4

)≤m≤log2(

3

2

) …（15分）
所以，m 的取值范围是(log2

5

4

 ， log2

3

2

) …（16分）