Question

设函数f（x）=x²-x+m，且f（log₂a）=m，log₂f（a）=2，（a≠1）．
（1）求a，m的值；
（2）求f（log₂x）的最小值及对应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由题意，可由f（log₂a）=m，log₂f（a）=2，（a≠1）建立起方程求出a，m的值．
（2）由（1）得f(x)=x2-x+2=(x-

1

2

)2+

7

4

，当当x=

1

2

时  f（x）取得最小值

7

4

，故可令log2x=

1

2

求出函数取最小值时x的值

解答：解：（1）f（log₂a）=log₂²a-log₂a+m=m
∴log₂a（log₂a-1）=0∴a=1（舍）或a=2
∴a=2f（2）=2+m
∴log₂f（a）=log₂f（2）=log₂（m+2）=2
∴m=2
综上：a=2m=2
（2）f(x)=x2-x+2=(x-

1

2

)2+

7

4

当x=

1

2

时  f（x）取得最小值

7

4

∴log2x=

1

2

时，f（log₂x）取得最小值
∴x=

2

时，f（log₂x）最小，f(log2x)=

7

4

点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，正确解答本题，关键是熟练掌握对数的性质，本题第二小题解法有特色，先判断出复合函数取最小值时外层函数的自变量，再将其作为内层函数值建立方程求出复合函数取最小值时的x的值，解题时要注意运用此类题解法上的这一特征