Question

【题目】已知函数，，直线与曲线切于点，且与曲线切于点.

（1）求实数的值；

（2）证明：（ⅰ）；（ⅱ）当为正整数时，

Answer 1

【答案】（1），（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出，，再利用导数的几何意义求出切线方程，进而得到. （Ⅱ）证明：（ⅰ）由于,由题意可构造函数,

再求,得到函数的单调性,可得；同理再构造函数，得到，从而不等式成立.

（ⅱ）证明本题时，注意（ⅰ）的结论的应用，取得：,

令，则，

当时，作差比较的大小，可证出.

又，

故,利用放缩法得到证毕

试题解析：（Ⅰ）由，，

则，，，，

曲线在点处的切线为，

曲线在点处的切线为，即，

依题意，得.

（Ⅱ）证明：（ⅰ）,令,

所以,

当时，，所以单调递减,

所以；

令，则

所以单调递减，故，

所以成立.

（ⅱ）由（ⅰ），取得：,

令，

则，当时，

.

因此.

又，

故,

所以当为正整数时，成立.