Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c,直线l₁:y=-t²+8t(其中0≤t≤2,t为常数);l₂:x=2,若直线l₁、l₂与函数f(x)的图象以及l₁,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

(1)求a、b、c的值;

(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;

(3)若g(x)=6lnx+m,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点？若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.

Answer 1

解:(1)由图形知解之得

∴函数f(x)的解析式为f(x)=-x²+8x.

(2)由得x²-8x-t(t-8)=0,∴x₁=t,x₂=8-t.

∵0≤t≤2,

∴直线l₁与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t²+8t).

由定积分的几何意义知:

S(t)=dx+dx

=［(-t²+8t)x-(+)］+［(+)-(-t²+8t)·x=t³+10t²-16t+.

(3)令φ(x)=g(x)-f(x)=x²-8x+6lnx+m.

∵x＞0,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点,则函数φ(x)=x²-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点,

∴φ′(x)=2x-8+==(x＞0).

当x∈(0,1)时,φ′(x)＞0,φ(x)是增函数;

当x∈(1,3)时,φ′(x)＜0,φ(x)是减函数;

当x∈(3,+∞)时,φ′(x)＞0,φ(x)是增函数;

当x=1或x=3时,φ′(x)=0,

∴φ(x)的极大值为φ(1)=m-7;

φ(x)的极小值为φ(3)=m+6ln3-15.

又∵当x→0时,φ(x)→-∞,

当x→+∞时,φ(x)→+∞,

∴要使φ(x)=0有且仅有两个不同的正根,必须且只需

或

即或

∴m=7或m=15-6ln3.

∴当m=7或m=15-6ln3时,函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点.