Question

已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A-BCD，如图所示． 
（1）当a=2时，求证：AO⊥平面BCD；
（2）当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据AC=a=2得到AC²=AO²+CO²，进而得AO⊥CO，再结合AC，BD是正方形ABCD的对角线对应的AO⊥BD进而证明结论；
（2）先建立空间直角坐标系，结合二面角A-BD-C的大小为120°时对应的结论，进而求出两个半平面的法向量，即可求出结论．
解答：解：（1）证明：根据题意，在△AOC中，AC=a=2，，
所以AC²=AO²+CO²，所以AO⊥CO．…（2分）
因为AC，BD是正方形ABCD的对角线，
所以AO⊥BD．…（3分）
因为BD∩CO=O，
所以AO⊥平面BCD；．…（4分）
（2）：由（1）知，CO⊥OD，如图，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系O-xyz，…（5分）
则有O（0，0，0），，，．
设A（x，0，z）（x＜0），则，．…（6分）
又设面ABD的法向量为n=（x₁，y₁，z₁），
则即  
所以y₁=0，令x₁=z，则z₁=-x．
所以n=（z，0，-x）．…（8分）
因为平面BCD的一个法向量为m=（0，0，1），
且二面角A-BD-C的大小为120°，…（9分）
所以，得．
因为，所以．
解得．所以．…（10分）
设平面ABC的法向量为l=（x₂，y₂，z₂），因为，
则，即令x₂=1，则．
所以．…（12分）
设二面角A-BC-D的平面角为θ，
所以．…（13分）
所以．
所以二面角A-BC-D的正切值为．…（14分）
点评：本题主要考察用空间向量求平面间的夹角．解决这类问题的关键在于求出两个半平面的法向量．