Question

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA₁＝2，E、E₁分别是棱AD、AA₁的中点．

(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁；

(2)证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

Answer 1

(1)解法一：取A₁B₁的中点F₁，连结FF₁、C₁F₁，

∵FF₁∥BB₁∥CC₁，∴F₁∈平面FCC₁，

∴平面FCC₁即为平面C₁CFF₁，

连结A₁D、F₁C，∴A₁F₁綊D₁C₁綊CD，

∴四边形A₁DCF₁为平行四边形，

∴A₁D∥F₁C.

又∵EE₁∥A₁D，∴EE₁∥F₁C，

∵EE₁⊄平面FCC₁，F₁C⊂平面FCC₁，

∴EE₁∥平面FCC₁.

解法二：∵F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，

∴CD綊AF，

∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC.

又CC₁∥DD₁，FC∩CC₁＝C，FC⊂平面FCC₁，CC₁⊂平面FCC₁，∴平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，

又EE₁⊂平面ADD₁A₁，∴EE₁∥平面FCC₁.

(2)证明：连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，

又F为AB的中点，∴AF＝FC＝FB，

∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.

又AC⊥CC₁，且CC₁∩BC＝C，

∴AC⊥平面BB₁C₁C，而AC⊂平面D₁AC；

故平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.