Question

（2013•深圳二模）如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，经过椭圆E的下顶点A和右焦点F的直线l与圆C：x2+(y-2b)2=

27

4

相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若动点P、Q分别在圆C与椭圆E上运动，求|PQ|取得最大值时点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意得

c

a

=

3

2

，再由c²=a²-b²得a=2b，c=

3

b，由截距式可直线l的方程，根据l与圆相切得d=r，由此可求得b值，进而得a值；
（2）连接PQ，CP，CQ，则有|PQ|≤|CP|+|CQ|=

3 3

2

+|CQ|，易知当P，C，Q三点共线且P，Q在C异端时等号成立，所以当|CQ|取得最大值时，|PQ|取得最大值，设Q（x₀，y₀），得

x02

4

+y02=1，利用二次函数的性质可求|CQ|=

x02+(y0-2)2

=

4-4y02+(y0-2)2

取得最大值时y₀的值，代入椭圆方程可得x₀，即得|PQ|取得最大值时点Q的坐标．

解答：解：（1）依题意得e=

c

a

=

3

2

，c²=a²-b²，解得a=2b，c=

3

b，
所以A（0，-b），F（

3

b，0），
所以直线l的方程为：

x

3 b

+

y

-b

=1，即x-

3

y-

3

b=0，
因为直线l与圆C：x2+(y-2b)2=

27

4

相切，
所以

|0-2 3 b- 3 b|

2

=

3 3

2

，解得b=1，a=2，
所以椭圆E的方程为：

x2

4

+y2=1；
（2）连接PQ，CP，CQ，则有|PQ|≤|CP|+|CQ|=

3 3

2

+|CQ|（当且仅当P，C，Q三点共线且P，Q在C异端时等号成立），
所以当|CQ|取得最大值时，|PQ|取得最大值，
设Q（x₀，y₀），得

x02

4

+y02=1，
又C（0，2），则|CQ|=

x02+(y0-2)2

=

4-4y02+(y0-2)2

=

-3(y0+ 2 3 )2+ 28 3

，
因为y₀∈[-1，1]，-1＜-

2

3

＜1，所以当y0=-

2

3

时|CQ|取得最大值，
把y0=-

2

3

代入

x2

4

+y2=1中，解得x0=±

2 5

3

，
所以|PQ|取得最大值时，Q点坐标为（±

2 5

3

，-

2

3

）．

点评：本题主要考查圆与椭圆的方程，直线与圆的位置关系，两点距离公式，二次函数的最值等基础知识，考查学生数形结合、运算求解、转化与化归以及分析与解决问题的能力．