Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n．且满足S_n=2a_n-1（n∈N⁺）
（I）求证：数列{a_n}是等比数列；
（II）数列{b_n}满足b_n+1．=a_n+b_nn∈N⁺．且b₁=3．若不等式log2(bn-2)＜

3

16

n2+t对任意n∈N⁺恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把n=n+1代入S_n=2a_n+1得到一个式子，再把两个式子相减，再由S_n+1-S_n=a_n+1得到数列的递推公式，化简后根据等比数列的定义进行证明；
（II）把n=1代入S_n=2a_n+1，求出a₁的值，再由（I）的结论和等比数列的通项公式，求出a_n．

解答：解：（ I）证明：依题意可得S_n+1=2a_n+1-1…①，S_n=2a_n-1…②
①-②，得a_n+1=2a_n+1-2a_n
化简得

an+1

an

=2(n∈N*)，
∵a₁=2a₁-1，
∴a₁=1
∴数列{a_n}是以1为首项，公比为2的等比数列．
（II）由（Ⅰ）可知a_n=2^n-1，因为b_n+1=a_n+b_n，n∈N⁺．且b₁=3，
所以b_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+a_n-2+b_n-2=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=2^n-2+2^n-3+…+1+3=2^n-1+2，
因为不等式log2(bn-2)＜

3

16

n2+t对任意n∈N⁺恒成立，
所以log2(2n-1+2-2)＜

3

16

n2+t，
即t＞-

3

16

n2+n-1，对任意n∈N⁺恒成立，
因为-

3

16

n2+n-1≤

5

16

，且n=3时-

3

16

n2+n-1取得最大值

5

16

．
所以t＞

5

16

．
所以实数t的取值范围：(

5

16

，+∞)．

点评：本题考查了等比数列的定义和通项公式，以及S_n与a_n之间的关系的应用，证明数列是等比数列常用它的定义进行证明．注意数列求和的方法，恒成立条件的应用，考查数列与不等式的综合．