题目内容
已知f（x）=（1+x）α（1+
）β（α，β，x∈R+），
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果y＞0，求证：（
）α+β≤（
）α•（
）β；
（3）如果α1，α2，…αn，β1，β2，…βn＞0，求证：（
）α1+α2+…+αn≤（
）α1•（
）α2…（
）αn．
| 1 |
| x |
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果y＞0，求证：（
| α+β |
| x+y |
| α |
| x |
| β |
| y |
（3）如果α1，α2，…αn，β1，β2，…βn＞0，求证：（
| α1+α2+…+αn |
| β1+β2+…+βn |
| α1 |
| β1 |
| α2 |
| β2 |
| αn |
| βn |
分析：（1）先求导函数得f′（x）=
•(x-
)，从而可知x∈（
，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，
）时，f′（x）＜0．故可求f（x）的最小值；
（2）根据f（
）≤f（
），可得（
）α•（
）β≤（
）α•（
）β，从而得证；
（3）利用数学归纳法证明，当n=2时，由（2）可知（
）α1+α2≤（
）α1•（
）α2，假设n=k时，成立，即（
）α1+α2+…+αn≤（
）α1•（
）α2…（
）αn，再证明当n=k+1时也，成立．
| α(1+x)α+β-1 |
| xβ-1 |
| β |
| α |
| β |
| α |
| β |
| α |
（2）根据f（
| β |
| α |
| y |
| x |
| α+β |
| α |
| α+β |
| β |
| x+y |
| x |
| x+y |
| y |
（3）利用数学归纳法证明，当n=2时，由（2）可知（
| α1+α2 |
| β1+β2 |
| α1 |
| β1 |
| α2 |
| β2 |
| α1+α2+…+αn |
| β1+β2…+βn |
| α1 |
| β1 |
| α2 |
| β2 |
| αn |
| βn |
解答：（1）解：f′（x）=α（1+x）α-1（1+
）β+（1+x）α•β（1+
）β-1•（-1）•
=
•(x-
)，
∵x∈（
，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，
）时，f′（x）＜0．
∴f（x）max=f（
）=（
）α（
）β．
（2）证：∵f（
）≤f（
），∴（
）α•（
）β≤（
）α•（
）β，
即（
）α+β≤（
）α•（
）β．
（3）当n=2时，由（2）可知（
）α1+α2≤（
）α1•（
）α2，
设n=k时，（
）α1+α2+…+αn≤（
）α1•（
）α2…（
）αn，
当n=k+1时，（
）α1+α2+…+αn+αn+1
=[
]（α1+α2+…+αn）+αn+1
≤（
）α1+α2+…+αn•（
）αn+1
≤（
）α1•（
）α2…（
）αn•（
）αn+1．
所以，结论对一切n成立．
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| α(1+x)α+β-1 |
| xβ-1 |
| β |
| α |
∵x∈（
| β |
| α |
| β |
| α |
∴f（x）max=f（
| β |
| α |
| α+β |
| α |
| α+β |
| β |
（2）证：∵f（
| β |
| α |
| y |
| x |
| α+β |
| α |
| α+β |
| β |
| x+y |
| x |
| x+y |
| y |
即（
| α+β |
| x+y |
| α |
| x |
| β |
| y |
（3）当n=2时，由（2）可知（
| α1+α2 |
| β1+β2 |
| α1 |
| β1 |
| α2 |
| β2 |
设n=k时，（
| α1+α2+…+αn |
| β1+β2…+βn |
| α1 |
| β1 |
| α2 |
| β2 |
| αn |
| βn |
当n=k+1时，（
| α1+α2+…+αn+αn+1 |
| β1+β2…+βn+βn+1 |
=[
| (α1+α2+…+αn)+αn+1 |
| (β1+β2…+βn)+βn+1 |
≤（
| α1+α2+…+αn |
| β1+β2…+βn |
| αn+1 |
| βn+1 |
≤（
| α1 |
| β1 |
| α2 |
| β2 |
| αn |
| βn |
| αn+1 |
| βn+1 |
所以，结论对一切n成立．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数与不等式的综合，考查数学归纳法，有一定的综合性．
练习册系列答案
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已知f（x）=a-
是定义在R上的奇函数，则f-1（-
）的值是（ ）
| 2 |
| 2x+1 |
| 3 |
| 5 |
A、
| ||
| B、-2 | ||
C、
| ||
D、
|