Question

在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，△ABC的外接圆半径R=

3

，且

cosC

cosB

=

2sinA-sinC

sinB

（1）求B和b的值
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）整理

cosC

cosB

=

2sinA-sinC

sinB

，得到sinA=2sinAcosB，故得到cosB=

1

2

，B=60°，
再由△ABC的外接圆半径R=

3

，即可得到b边长；
（2）由余弦定理得到9=a²+c²-2accos60°，即9+ac=a²+c²≥2ac
即ac≤9 （当且仅当a=c=3时，取等号），求得ab最大值为3，从而求得△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）由

cosC

cosB

=

2sinA-sinC

sinB

可得 sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
即sin（B+C）=2sinAcosB，
∵A+B+C=π∴sinA=2sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∴B=60°．
∵R=

3

∴b=2RsinB=2

3

sin60°=3
故角B=60°，边b=3
（2）由余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB
即9=a²+c²-2accos60°
∴9+ac=a²+c²≥2ac，（当且仅当a=c时，取等号），
即ac≤9 （当且仅当a=c=3时，取等号），
∴△ABC面积为

1

2

acsinB≤

1

2

×9×sin60°=

9

4

3

故三角形的最大面积为

9

4

3

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，求出ac≤9是解题的难点．