Question

已知函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线．
（1）求实数a、b、c的值；
（2）设函数F（x）=f（x）+g（x），求F（x）在[-2，m]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）通过f（2）=0求出a，利用两个函数点P处有相同的切线，就是两个导函数在2处的导函数值相等，求出b，c．
（2）写出函数F（x）=f（x）+g（x）的表达式，通过导数推出F（x）的单调区间，对m∈（-2，

2

3

]以及m＞

2

3

，求出函数的最小值．

解答：解：（1）∵f（x），g（x）的图象过P（2，0），∴f（2）=0
即2×2³+a×2=0，a=-8．…（2分）
∴f（x）=2x³-8x
f′（x）=6x²-8，g′（x）=2bx…（4分）
f′（2）=6×4-8=16
又g′（2）=4b
16=4b∴b=4
∴g（x）=4x²+c
把（2，0）代入得：0=16+c，∴c=-16
∴g（x）=4x²-16，
综上a=-8，b=4，c=-16…（6分）
（2）F（x）=2x³+4x²-8x-16，F′（x）=6x²+8x-8，
解不等式

F′(x)=6x2+8x-8≥0．

得x≤-2或x≥

2

3

．
即函数的调增区间为：（-∞，-2]，[

2

3

，+∞）
同理，由F′（x）≤0，得-2≤x≤

2

3

，即函数的减区间为：[-2，

2

3

]．…（8分）
因此，当-2＜m≤

2

3

时，F(x)min=F(m)=2m3+4m2-8m-16；…（10分）
当m＞

2

3

时，F(x)min=F(

2

3

)=-

512

27

．…（12分）

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，导函数的求法以及导数几何意义，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．注意分类讨论的思想的应用．