Question

已知f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，当x∈R时，f（x）≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f（x）的最小值.

Answer 1

解：依题意有f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，即lga-lgb=1，从而有lga=1+lgb，a=10b.

由f（x）≥2x对x∈R恒成立，

可知x²+（lga+2）x+lgb≥2x，

即x²+lga·x+lgb≥0对x∈R恒成立.

由Δ=lg²a-4lgb=（1+lgb）²-4lgb≤0，

即（lgb-1）²≤0,

只能是lgb=1，此时，b=10，a=100.

∴f（x）=x²+（lga+2）x+lgb=x²+4x+1=（x+2）²-3≥-3.

综合得，所求的a值为100，此时f（x）的最小值为-3.