题目内容

已知实数x，y满足 $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的最小值为________．

$\text{[math]}$
分析：根据题意作出不等式组对应的平面区域，为图中阴影部分，设P（x，y）是区域内一个动点，得 $\text{[math]}$ =K_OP是原点与P点连线的斜率．运动P点并观察斜率的变化，可得得 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，从而得到当且仅当P与A重合时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
解答：设直线l₁：y=2，l₂：x+y+4=0，l₃：x-y-2=0

作出三条直线在坐标系内的图形如右图，设点A、B分别是
l₁、l₂的交点和l₁、l₃的交点
可得不等式组 $\text{[math]}$ 表示的平面区域是在l₂和l₃的上方，且在线段AB上方的阴影部分
设P（x，y）是区域内一个动点，由 $\text{[math]}$ =K_OP，
是原点与P点连线的斜率，
将P点在区域内运动，可得当P在第一象限内运动时，K_OP为正数，当P与B重合时，K_OP达到最小值
当P在第二象限内运动时，K_OP为负数，当P与A重合时，K_OP达到最大值
∵l₁、l₂的交点A（-6，2），l₁、l₃的交点B（4，2）
∴OA的斜率K₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，OB的斜率K₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由此可得 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，取绝对值，得 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，最小值为 $\text{[math]}$
当且仅当P与A重合时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求区域内一点纵坐标与横坐标比值的绝对值最小值，考查了直线的斜率和二元一次不等式组表示平面区域等知识点，属于基础题．