Question

已知函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

-cos2

x

2

+

1

2

，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若已知cos(β-α)=

4

5

，cos(β+α)=-

4

5

，(0＜α＜β≤

π

2

)，求f(β+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式将f（x）化简为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出周期；
（II）先根据两角和与差公式展开cos（β-α）和cos（β+α），进而求出cosαcosβ=0，再由角的范围得出β的值，即可求得结果．

解答：解：（I）f（x）=

1

2

sinx-

1+cos×

2

+

1

2

=

2

2

sin（x-

π

4

）
∴T=2π
（II）∵cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

cos（β+α）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

4

5

∴cosαcosβ=0
∵0＜α＜β≤

π

2

∴cosβ=0
∴β=

π

2

f(β+

π

4

)=

2

2

sinβ=

2

2

点评：本题考查了二倍角公式、两角和与差公式等知识，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．