Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-a_n，公差为3的等差数列{b_n}满足b₂是b₁与b₆的等比中项．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）∵数列{a_n}的前n项和S_n=1-a_n，∴n≥2时，S_n-1=1-a_n-1，
∴两式相减可得a_n=a_n-1-a_n，∴

an

an-1

=

1

2

（n≥2）
∵n=1时，S₁=1-a₁，∴a₁=

1

2

∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列
∴a_n=(

1

2

)n；
∵公差为3的等差数列{b_n}满足b₂是b₁与b₆的等比中项
∴（b₁+3）²=b₁•（b₁+15）
∴b₁=1
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•(

1

2

)n
∴T_n=1•

1

2

+4•(

1

2

)2+…+（3n-2）•(

1

2

)n
∴

1

2

T_n=1•(

1

2

)2+4•(

1

2

)3+…+（3n-5）•(

1

2

)n+（3n-2）•(

1

2

)n+1
两式相减可得

1

2

T_n=1•

1

2

+3•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+3•(

1

2

)n-（3n-2）•(

1

2

)n+1=2-（3n+4）•(

1

2

)n+1
∴T_n=4-（6n+8）•(

1

2

)n+1．