Question

【题目】在四棱锥中， 为正三角形，平面平面， ， ， .

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）存在，证明见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)先证明，再根据面面垂直的性质定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）先根据面面垂直的性质定理可得平面，再根据棱锥的体积公式可得结果；（Ⅲ） 为的中点时， 平面，根先证明平面平面，从而可得结果.

试题解析：（Ⅰ）因为， ，

所以.

因为平面平面，平面平面 ，

所以平面.

因为平面,

所以平面平面.

（Ⅱ）取的中点,连结.

因为为正三角形，

所以.

因为平面平面，

平面平面 ，

所以平面，

所以为三棱锥的高.

因为为正三角形， ，

所以.

所以 .

（Ⅲ）在棱上存在点，当为的中点时， 平面.

分别取的中点，连结.

所以. 因为， ，

所以.

所以四边形为平行四边形.

所以.

因为,

所以平面平面.

因为平面，

所以平面.