Question

设函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期为π，求当-

π

6

≤x≤

π

3

时，f（x）的值域
（2）若函数f（x ）的图象的一条对称轴为x=

π

3

，求ω的值．

Answer 1

f（x）=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

．
（1）因为T=π，所以ω=1．∴f（x）=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

当-

π

6

≤x≤

π

3

时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所以f （x）的值域为[0，]．
（2）因为f（x）的图象的一条对称轴为x=

π

3

，
所以2ω（

π

3

）+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
ω=

3

2

k+

1

2

（k∈Z），
又0＜ω＜2，所以-

1

3

＜k＜1，又k∈Z，
所以k=0，ω=

1

2

．