Question

如图，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA=AB=2DC=2a，设F为EB的中点。

（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求直线AD与平面AEB所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1）如图，过F作FH∥EA交AB于H，连接HC， ∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC， ∴EA∥DC 又∵FH∥EA ∴FH∥DC 而F是EB的中点， ∴FH=AE=DC ∴四边形CDFH是平行四边形 ∴DF∥HC 又HC平面ABC，DF平面ABC， ∴DF∥平面ABC；
（2）△ABC为正三角形，H为AB中点， ∴CH⊥AB ∵EA⊥平面ABC，CH面ABC， ∴CH⊥EA 又∵EA∩AB =A，EA、AB平面EAB， ∴CH⊥平面EAB ∵DF∥CH， ∴DF⊥平面EAB ∴AF为DA在平面EAB上的射影，则∠DAF为直线AD与平面AEB所成角， 在Rt△AFD中，， 所以直线AD与平面AEB所成角的正弦值为。