Question

已知函数f(x)=(x²-3x+3)e^x定义域为［-2,t］(t＞-2),设f(-2)=m,f(t)=n.

(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在［-2,t］上为单调函数;

(2)求证:n＞m;

(3)若t为自然数,则当t取哪些值时,方程f(x)-m=0(m∈R)在［-2,t］上有三个不相等的实数根,并求出相应的实数m的取值范围．

Answer 1

 (1)解：因为f′(x)=(x²-3x+3)·e^x+(2x-3)·e^x=x(x-1)·e^x．           1分

由f′(x)>0Þx>1或x＜0;  由f′(x)<0Þ0<x<1

所以f(x)在(-∞,0)，(1,+∞)上递增，在(0,1)上递减．              3分

欲使f(x)在［-2,t］上为单调函数,则-2＜t≤0．                     4分

(2)证明:因为f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,

所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=e．                    5分

又∵f(-2)=<e，所以f(x)仅在x=-2处取得［-2,t］上的最小值f(-2)．     6分

从而当t＞-2时,f(-2)＜f(t),即m＜n.                     8分

(3)解：由（1）知f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,故当t=0或t=1时,方程f(x)-m=0在［-2,t］不可能有三个不等实根,所以t≥2且t∈N．        9分

当t≥2且t∈N时,方程f(x)-m=0在［-2,t］上有三个不等实根,只需满足m∈(max(f(-2),

f(1)),min(f(0),f(t))）,即可.                             10分

∴,f(0)=3,f(1)=e,f(2)=e²,且f(t)≥f(2)=e²＞3=f(0),

因而f(-2)＜f(1)＜f(0)＜f(2)≤f(t),

∴f(1)＜m＜f(0),即e＜m＜3.即实数m的取值范围是(e,3)             12分