Question

（本小题满分13分）

已知抛物线被直线截得的弦长是．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设点为抛物线上的动点，问：在轴上是否存在一定点,使得以为直径的圆被直线截得的弦长恒为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由，解得，.

--------------------3分

（Ⅱ）设圆心，半径为，点

圆过原点，圆的方程为：---------------4分

，抛物线在点处的切线斜率为

圆的圆心与点连线的斜率 ks*5*u

依题意，得，得， ①. -------------6分

又，圆过点，所以， ②. ---------------7分

由①②联立得，

所以，圆的标准方程为：----------------8分

（Ⅲ）假设存在符合题意的定点，

设以为直径的圆与直线交于、两点，

设，则圆心

则点到直线的距离

圆的半径----------------------9分

                  

                    

                      =-----------------11分

当时，恒为定值---------------12分

即弦长恒为定值

所以，存在这样的定点符合题意. ---------------13分