Question

15．已知过原点的直线l与曲线C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1相交，直线l被曲线C所截得的线段长等于$\sqrt{6}$，则直线l的斜率k的-个取值是 （　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=kx，与椭圆方程联立化为${x}^{2}=\frac{3}{1+3{k}^{2}}$，y²=$\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$．利用$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{6}$，解出即可得出．

解答 解：设直线l的方程为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为${x}^{2}=\frac{3}{1+3{k}^{2}}$，y²=$\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$．
∴$2\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}+\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
化为：k²=1．
解得k=±1．
∴直线l的斜率k的-个取值是1．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．