Question

13、锐角△ABC的三高线为AD、BE、CF，垂心为H，求证：HD平分∠EDF．

Answer 1

分析：根据△ABC的三高线为AD、BE、CF得到AD⊥BC，BE⊥CA，从而得到四边形一组对角互补，得到四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得到两个角∠ADE=∠ABE，同理∠FBE=∠FCE，∠FCA=∠FDA，等量代换得到∠ADE=∠FDA，结论得证．

解答：证明：由于AD⊥BC，BE⊥CA，
∴点A，B，D，E四点共圆，
∴∠ADE=∠ABE，
又∵点F，B，C，E共圆，
∴∠FBE=∠FCE，
又因点C，A，F，D共圆，
∴∠FCA=∠FDA
∴可得∠ADE=∠FDA，即AD平分∠EDF．

点评：本题考查四点共圆，同弧所对的圆周角相等，等量代换等性质，是一个平面几何的问题，在证明题目时，注意表示角是用三个大写字母来表示，或者应用一个小写字母来表示．