Question

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项的和为S_n，数列的前n项的和为T_n，且．
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若对n∈N^*恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，再写一式两式相减，化简可得2S_n+1-S_n=2，再写一式，两式相减，即可证明数列{a_n}是等比数列，从而可得通项公式；
（2）先求和，再分离参数，确定函数的范围，即可求得λ的最小值．
解答：（1）证明：因为，其中S_n是数列{a_n}的前n项和，T_n是数列的前n项和，且a_n＞0，
所以，当n=1时，由，解得a₁=1，…（2分）
当n=2时，由，解得； …（4分）
由，知，
两式相减得，即，…（5分）
亦即2S_n+1-S_n=2，从而2S_n-S_n-1=2，（n≥2），
再次相减得，又，所以
所以数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列，…（7分）
其通项公式为，n∈N^*．…（8分）
（2）解：由（1）可得，，…（10分）
若对n∈N^*恒成立，只需对n∈N^*恒成立，
因为对n∈N^*恒成立，所以λ≥3，即λ的最小值为3；
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，正确求通项是关键．