Question

（2013•天河区三模）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=12，E为CD的中点，将△DAE沿AE折起，使面DAE⊥面ABCE；再过点D作DQ∥AB，且DQ=

1

2

AB．
（Ⅰ）求证：面DAE⊥面BEQ；
（Ⅱ）求直线BD与面DAE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点Q到面DAE的距离．

Answer 1

分析：（I）利用勾股定理的逆定理可知BE⊥AE，再利用面面垂直的性质定理可得BE⊥平面DAE，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；
（II）由（I）知，BE⊥平面DAE，可得∠BDE是直线BD与平面DAE所成的角，再利用直角三角形的边角关系即可求出；
（III）设点Q到平面DAE的距离为h，由DQ∥EC且DQ=EC，可得四边形DQCE为平行四边形，得到QC∥DE，从而QC∥平面DAE，故点Q到平面DAE的距离等于点C到平面DAE 的距离．作DH⊥AE与H，由面DAE⊥面BEQ，交线为AE，可得AH⊥平面ABCE，则AH是D到面ABCE的距离，再利用“等体积变形”V_Q-ADE=V_C-ADE=V_D-AEC，即可得出．

解答：（I）证明：折叠前，矩形ABCD中，连接BE，
在△ABE中，AE=BE=6

2

，AB=12，
∴AE²+BE²=AB²，
∴AE⊥BE，
∵面DAE⊥面ABCE，交线为AE，
∴BE⊥平面DAE，
而BE?BEQ，∴面DAE⊥面BEQ；                  
（II）由（I）知，BE⊥平面DAE，∴∠BDE是直线BD与平面DAE所成的角，
在Rt△BDE中，BE=6

2

，DE=6，BD=6

3

∴sin∠BDE=

BE

BD

=

6 2

6 3

=

6

3

．
故直线BD与平面DAE所成角的正弦值为

6

3

．                       
（III）设点Q到平面DAE的距离为h，
∵DQ∥EC且DQ=EC，
∴四边形DQCE为平行四边形，
QC∥DE，从而QC∥平面DAE，
故点Q到平面DAE的距离等于点C到平面DAE 的距离，
作DH⊥AE与H，
∵面DAE⊥面BEQ，交线为AE，
∴DH⊥平面ABCE，则DH是D到面ABCE的距离，而DH=3

2

．
由V_Q-ADE=V_C-ADE=V_D-AEC
∴

1

3

•S△ADE•h=

1

3

•S△AEC•DH，
又S△ADE=

1

2

•AD•DE=18，S△AEC=

1

2

•EC•AD=18．
∴h=3

2

．
∴点Q到平面DAE 的距离为3

2

．

点评：本题综合考查了线面垂直、面面垂直、线面角、三棱锥的体积等基础知识，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．