题目内容
如图，A为椭圆
上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有AF1：AF2＝3：1.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率；(Ⅱ) 设
.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求
的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是否
为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.
（Ⅰ）
(Ⅱ) 6、略
解析:
（Ⅰ）设
，则
.由题设及椭圆定义得
，
消去
得
，所以离心率
.
(Ⅱ) 由(1)知，
，所以椭圆方程可化为 
.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，
，直线
的方程为
.
由
得 
，解得
，
∴ 点
的坐标为
.又
，所以
，
，所以
，
.②当A点为该椭圆上的一个动点时，
为定值6.
证明 设
，
，则
.
若
为椭圆的长轴端点，则
或
，
所以
.若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由
得，
，所以
.
又直线的方程为
，所以由
得
.
，
∴
.由韦达定理得 
，所以
. 同理 
.
∴
.
综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.
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上的一个动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，弦AB过点F2，当AB⊥x轴时，恰好有|AF1|=3|AF2|．
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