Question

已知函数f （x）定义在[0，6]上，且在[0，3]上是正比例函数，在[3，6]上为二次函数，并且x∈[3，6]时，f （x）≤f （5）=3，f （6）=2，求函数f （x）的解析式．

Answer 1

分析：由题意可设f(x)=

kx，，x∈[0，3] a(x-m)2+n，x∈[3，6]

由x∈[3，6]时，f （x）≤f （5）=3，f （6）=2知，二次函数的顶点坐标是（5，3），又知其上一点坐标（6，2）代入即可求得相应的参数值．

解答：解：∵函数f（x）在[0，3]上是正比例函数，在[3，6]上为二次函数
∴可设f(x)=

kx，，x∈[0，3] a(x-m)2+n，x∈[3，6].

（4分）
又∵x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，f（6）=2，
∴a＜0，m=5，n=3，且2=a（6-5）²+3
∴a=-1（8分）
∴x∈[3，6]时，f（x）=-（x-5）²+3
∴f（3）=-1（10分）
又∵f（3）=3k，
∴3k=-1即k=-

1

3

（12分）
∴f(x)=

1 3 x，，x∈[0，3] -(x-5)2+3，x∈[3，6].

（14分）

点评：本题考查函数解析式的求解方法--待定系数法，首先引入参数设出函数的解析式，再利用所给的条件，（本题是点的坐标及对称性）建立方程求出参数，即得所求的解析式．本题中正确理解f （x）≤f （5）=3是解题的关键．