Question

设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)j，b=xi+(y-2)j，且|a|+|b|=8．
(Ⅰ)求点M(x，y)的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A，B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由

Answer 1

解：(Ⅰ)∵，且，
∴点M（x，y）到两个定点的距离之和为8，
∴点M的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为。
(Ⅱ)∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A，B两点是椭圆的顶点，
这时，
∴P与O重合，与四边形OAPB是菱形矛盾，
∴假设直线l的斜率存在，其方程为y=kx+3，
，
由，消y，得，
此时，恒成立，
且，
∵，
∴四边形OAPB是平行四边形，
若存在直线l使得四边形OAPB是菱形，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴k=0，
∴存在直线l，使得四边形OAPB是菱形，其方程为y=3。