Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x²+y_=f(x)-x²+x.

（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x₀,使得f(x_0­)= x_0,求函数f(x)的解析表达式.

Answer 1

解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x² + x)=f(x)- x² +x，所以

f(f(2)- 2²+2)=f(2)- 2²+2.

又由f(2)=3，得f(3-2²+2)-3-2²+2，即f(1)=1.

若f(0)=a，则f(a-0²+0)=a-0²+0，即f(a)=a.

（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x² +x)=f(x)- x² +x.

又因为有且只有一个实数x₀,使得f(x₀)- x_0.

所以对任意xεR，有f(x)- x² +x= x_0.

在上式中令x= x₀,有f(x₀)-x + x₀₌ x_0,

又因为f(x₀)- x₀，所以x_0- x=0，故x₀₌0或x₀=1.

若x₀=0，则f(x)- x² +x=0，即

f(x)= x² -x.

但方程x² -x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x₂≠0.

若x₂=1,则有f(x)- x² +x=1，即f(x)= x² -x+1.易验证该函数满足题设条件.

综上，所求函数为

f(x)= x² -x+1（xR）.