题目内容
已知函数f(x)=
是奇函数，且f(2)=-
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在区间[1，4]是减函数
（3）求函数f（x）在区间[1，4]上的最小值．
| px2+2 |
| q-3x |
| 5 |
| 3 |
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在区间[1，4]是减函数
（3）求函数f（x）在区间[1，4]上的最小值．
分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），代入可得
=-
，可求q．，由f(2)=-
，可求p，从而可求
（2）由（1）可得f(x)=
=-
(x+
)，设1≤x1＜x2≤4，f(x1)-f(x2)=
[(x2+
)-(x1+
)]=
•
，根据条件可判断
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，4]上的最小值f（4）
| px2+2 |
| q+3x |
| px2+2 |
| q-3x |
| 5 |
| 3 |
（2）由（1）可得f(x)=
| 2x2+2 |
| -3x |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 2 |
| 3 |
| (x1-x2)(1-x1x2) |
| x1x2 |
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，4]上的最小值f（4）
解答：（1）解：∵f（x）是奇函数，
∴对定义域内的任意的x，都有f（-x）=-f（x），
即
=-
，整理得：q+3x=-q+3x
∴q=0
又∵f(2)=-
，
∴f(2)=
=-
，解得p=2
∴所求解析式为f(x)=
（2）由（1）可得f(x)=
=-
(x+
)，f（x）在区间[1，4]上是减函数．
证明如下：设1≤x1＜x2≤4，，
则由于f(x1)-f(x2)=
[(x2+
)-(x1+
)]=
•
因此，当1≤x1＜x2≤4时，x1x2＞0，x1-x2＜0，1-x1x2＜0
从而得到f（x1）-f（x2）＞0即，f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间[1，4]是减函数．
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，4]上的最小值=f(4)=-
∴对定义域内的任意的x，都有f（-x）=-f（x），
即
| px2+2 |
| q+3x |
| px2+2 |
| q-3x |
∴q=0
又∵f(2)=-
| 5 |
| 3 |
∴f(2)=
| 4p+2 |
| -6 |
| 5 |
| 3 |
∴所求解析式为f(x)=
| 2x2+2 |
| -3x |
（2）由（1）可得f(x)=
| 2x2+2 |
| -3x |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x |
证明如下：设1≤x1＜x2≤4，，
则由于f(x1)-f(x2)=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 2 |
| 3 |
| (x1-x2)(1-x1x2) |
| x1x2 |
因此，当1≤x1＜x2≤4时，x1x2＞0，x1-x2＜0，1-x1x2＜0
从而得到f（x1）-f（x2）＞0即，f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间[1，4]是减函数．
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，4]上的最小值=f(4)=-
| 17 |
| 6 |
点评：本题主要考查了奇函数的定义f（-x）=-f（x）在求解函数解析式中的应用，函数的单调性的定义在证明函数单调性中的应用，及利用函数的单调性在求解函数最值中的应用．
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