Question

如图，在正四棱台内，以小底为底面．大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．

Answer 1

分析：这是棱台与棱锥的组合体问题，也是立体几何常见的问题，这类问题的图形往往比较复杂，要认真分析各有关量的位置和大小关系，因为它们的各量之间的关系较密切，所以常引入方程、函数的知识去解．

解答：解：如图，过高OO₁和AD的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE₁和棱锥的斜高为EO₁，设OO₁=h，∴S锥侧=

1

2

•4b•EO1=2bEO1
S台侧=

1

2

(4a+4b)•EE1=2(a+b)•EE1， ∴2bEO1=2(a+b) EE1      ①
∵OO₁E₁E是直角梯形，其中OE=

b

2

，O1E1=

a

2

∴根据勾股定理得，EE12=h2+(

a

2

-

b

2

)2，EO12=h2+(

b

2

)2   ②
①式两边平方，把②代入得：b2(h2+

b2

4

)=(a+b)2[h2+(

a

2

-

b

2

)2]
解得h2=

a2(2b2-a2)

4a(a+2b)

，即h=

1

2

a(2b2-a2) a+2b

显然，由于a＞0，b＞0，所以此题当且仅当a＜

2

b时才有解．

点评：本题考查了在棱台的问题中：如果与棱台的斜高有关，则常应用通过高和斜高的截面，如果和棱台的侧棱有关，则需要应用通过侧棱和高的截面，要熟悉这些截面中直角梯形的各元素，进而将这些元素归结为直角三角形的各元素间的运算，这是解棱台计算问题的基本技能之一．