Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，已知cosB=

a

2c

，
（1）判断△ABC的形状；
（2）若sinB=

3

3

，b=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据正弦定理将边a，c的比值转化为其正弦值的比，再由诱导公式和两角和与差的正弦公式可求出B=C，可判断△ABC为等腰三角形；或者根据余弦定理表示出cosB使之等于

a

2c

，也可求出b=c，进而可判断△ABC为等腰三角形．
（2）先根据角B的正弦值求出其余弦值，再由诱导公式可求出角A的正弦值，最后根据三角形的面积公式可得到最终答案．

解答：解：（1）∵cosB=

a

2c

，

a

sinA

=

c

sinC

，
∴cosB=

sinA

2sinC

，
∴sinA=2cosBsinC，
又∵sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0
∴在△ABC中B=C，
∴△ABC为等腰三角形
另解：∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a

2c

，
∴a²+c²-b²=a²，
∴c²=b²
∴c=b
∴△ABC为等腰三角形
（2）∵C=B∴0＜B＜

π

2

，
∵sinB=

3

3

，∴cosB=

6

3

，
∴sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin2B=2sinBcosB=

2 2

3

，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×3×

2 2

3

=3

2

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理和诱导公式的综合运用能力．三角函数部分的公式比较多，一定要强化记忆，做题时才能做到游刃有余．