Question

已知函数．

（Ⅰ）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围，并且判断代数式的大小．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先对函数求导，求出函数的极值，根据函数在区间上存在极值，

所以  从而解得（Ⅱ）不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，根据不等式的性质比较的大小．

试题解析：

解：（Ⅰ）因为，，则，          （1分）

当时，；当时，.

所以在上单调递增；在上单调递减，

所以函数在处取得极大值.                    （2分）

因为函数在区间上存在极值，

所以 解得                         （4分）

（Ⅱ）不等式即为 记，

所以.         （5分）

令，则，

，，

在上单调递增，

，从而，

故在上也单调递增，所以

所以.                               （7分）

由上述知恒成立，即， 

令，则，

∴ ，，， ，

，                         （9分）

叠加得

.

则，

所以．               （12分）

考点：函数与导数，函数极值与最值，不等式恒成立问题，不等式的性质．