Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均为2，M为AA₁中点，N为BC的中点．
（1）求异面直线BM和C₁N所成角的余弦值；
（2）一只小虫沿着棱柱的侧面爬行，若它从棱柱的侧面ABB₁A₁内的点M开始爬行，途经侧棱BB₁，再到达侧面BCC₁B₁内的点N，那么这只小虫爬行的最短距离是多少？

Answer 1

分析：（1）取B₁C₁的中点P，连接BP，A₁P，MP，可证得BP∥C₁N，则∠PBM即为直线BM和C₁N所成角，解三角形PBM，可得异面直线BM和C₁N所成角的余弦值；
（2）没棱BB₁将棱柱的侧面展开，将空间线段和最小转化为平面上两点之间的距离最短问题，根据已知代入勾股定理可得答案．

解答：解：（1）取B₁C₁的中点P，连接BP，A₁P，MP
由于N也是BC的中点，故BN∥PC₁，且BN=PC₁，
即四边形PC₁NB为平行四边形，
∴BP∥C₁N
故∠PBM即为直线BM和C₁N所成角
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均为2，M为AA₁中点，N为BC的中点
∴在△PBM中，BM=

AB2+( AA1 2 )2

=

5

，
BP=

BB12+( B1C 1 2 )2

=

5

，
PM=

A1P2+( AA1 2 )2

=2
故cos∠PBM=

5+5-4

2• 5 • 5

=

3

5

（2）没棱BB₁将棱柱的侧面展开，如下图所示

由图可知，小虫爬行的最短距离为

AM2+AN2

=

12+32

=

10

点评：本题考查的知识点是多面体表面上的最短距离问题，异面直线及其所成的角，熟练掌握求异面直线夹角的方法（将异面直线夹角转化为相交直线夹角）及求多面体表面上的最短距离（将空间线段和最小转化为平面上两点之间的距离最短）中包含的转化思想是解答的关键．