Question

数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，设数列{b_n}，bn=2an．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）求R_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

分析：（1）知S_n=n²+n，由a_n和S_n的关系求出a_n，分为n=1时，n≥2时，n=1时适合n≥2时的式子，所以数列{a_n}是等差数列，再求出b_n，由等比数列的前n项和求出T_n；
（2）由（1）知，数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，用错位相减法求R_n，写出R_n的表达式，等式两边同乘以数列{b_n}的公比4得到一个新的等式，两式左右两边分别相减，再用等比数列的前n项和可求R_n．

解答：解：（1）∵n=1时，a₁=S₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
∴a_n=2n，∴b_n=2²ⁿ=4ⁿ，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=4¹+4²+…+4ⁿ
=

4(1-4n)

1-4

=

4

3

(4n-1)．
（2）R_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2×4¹+4×4²+…+2n×4ⁿ…①
两边同乘以4得：4R_n=2×4²+4×4³+…+2n×4ⁿ⁺¹…②
①-②得：-3R_n=2×4¹+2×4²+2×4³+…+2×4ⁿ-2n×4ⁿ⁺¹
=2×

4(1-4n)

1-4

-2n×4ⁿ⁺¹=（

8

3

-8n）4ⁿ-

8

3

，
∴R_n=（

8

3

n-

8

9

）4ⁿ+

8

9

．

点评：由数列的前n项和求数列的通项为：an=

s1      (n=1) sn-sn-1(n≥2)

，用错位相减法求数列的前n项和，用时要观察项的特征，是否是等差数列的项与等比数列的项的乘积．