Question

（本题满分14分）已知四边形满足∥，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点.

（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）证明：∥面；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）取的中点连接，
因为，所以为等边三角形，
所以，
又因为面面，所以面，                       ……2分
所以四棱锥的体积              ……5分

（Ⅱ）连接交于，连接，
因为为菱形，所以，
又为的中点，所以∥，
因为,,
所以∥面.                                                  ……9分
（Ⅲ）连接，分别以为轴建立空间直角坐标系.
则
,
                                 ……10分
设面的法向量，则，
令，则.
设面的法向量为，则，
令，则.                                        ……12分
则所以二面角的余弦值为       ……14分
点评：解答立体几何的证明题，要把定理需要的条件意义列出来，缺一不可；求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.