题目内容

已知定义在(-1，1)上的函数f(x)，对于x、y∈(-1，1)恒有f(x)+f(y)=f()．数列{xn}的x1=,xn+1=.

(1)求x2，x3的值；

(2)(文)求证：数列{f(xn)}是等比数列；

(理)求证：.

答案：(1)x2=，x3=.

(2)(文)∵f(xn+1)=f()=f()=f(xn)+f(xn)=2f(xn)，

∴=2{f(xn)}是公比为2的等比数列．

(理)∵f(xn+1)=f()=f()=f(xn)+f(xn)=2f(xn)，

∴=2{f(xn)}是公比为2的等比数列．

令an=f(xn)，则an=f()=-1，∴an=-2n-1．

再令bn=，则所证不等式等价于

b1+b2+…+bn＞f(x2)=a2                                                         (*)

(*)式左边=-(1++…+)=-2+＞-2

又a2=-22-1=-2，∴(*)式成立．故原不等式成立．

练习册系列答案
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10、已知定义在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos2x）的值域为（　　）
已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)，x＞2
．给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，4]；
②关于x的方程f(x)=(
1
2
)n(n∈N*)有2n+4个不相等的实数根；
③当x∈[2n-1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=2；
④存在x0∈[1，8]，使得不等式x0f（x0）＞6成立，
其中你认为正确的所有结论的序号为
①③
①③
．
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2x4x+1
．
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（3）若关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求实数λ的取值范围．
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