Question

设X_n={1，2，3…n}（n∈N^*），对X_n的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍X_n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则S₅=（　　）

• A、104
• B、120
• C、124
• D、129

Answer 1

分析：由题意得X_n的任意非空子集A一共有2ⁿ-1个，在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次，可以推出有2^n-1个子集含n，有2^n-2个子集不含n含n-1，有2^n-3子集不含n，n-1，含n-2，…，有2^k-1个子集不含n，n-1，n-2…，k-1，含k，进而利用错位相减法求出其和，令n=5，即可求出S₅．

解答：解：由题意得，在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次．
故有2^n-1个子集含n，有2^n-2个子集不含n含n-1，
有2^n-3子集不含n，n-1，含n-2，…，
有2^k-1个子集不含n，n-1，n-2…k-1，而含有k．
∵定义f（A）为A中的最大元素，
∴S_n=2^n-1×n+2^n-2×（n-1）+…+2¹×2+1，
即S_n=1+2¹×2+2²×3+2³×4+…+2^n-1×n①
又2S_n=2+2²×2+2³×3+2⁴×4+…+2ⁿ×n②
∴①-②可得-S_n=1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-2ⁿ×n
∴-S_n=

1-2n

1-2

-2ⁿ×n，
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1，
∴S₅=（5-1）×2⁵+1=129．
故选：D．

点评：本题主要考查集合的子集的概念，解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意，结合数列求和的方法求其和即可，找出规律是关键．