Question

已知正数数列{a_n}的前n 项和为S_n，且（p-1）S_n=p²-a_n，（n∈N^*，p＞0，p≠1），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

1

an+2

ln(

1

an+2

)，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）当p=

7

10

时，数列{b_n}中是否存在最小项？若存在说明是第几项，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于正数数列{a_n}的前n 项和为S_n，且（p-1）S_n=p²-a_n，（n∈N^*，p＞0，p≠1），利用已知数列的前n项和求其通项的公式及等比数列的定义即可求得；
（2）有（1）再有若bn=

1

an+2

ln(

1

an+2

)，利用错位相减法求得其前n项的和；
（3））当p=

7

10

时，由于要求数列{b_n}中是否存在最小项，假设存在并设为第n项，利用

bn≤bn-1 bn≤ bn+1

解出该不等式组即可．

解答：解：（1）当n=1时，（P-1）a₁=P²-a₁，∴a₁=P
当n≥2时，（P-1）S_n=P²-a_n①
            （P-1）S_n-1=P²-a_n-1②

由①-②得：

an

an-1

=

1

P

，
所以数列{an}是以a1=P为首项，公比为

1

P

的等比数列．
∴等比数列a_n=P^2-n
（2）bn=

1

an+2

ln(

1

an+2

)=PnlnPn=nPnlnP，

Sn=b1+b2++bn=lnP(P+2P2+3P3++nPn) 令Tn=P+2P2+3P3++nPn PTn=P+2P2+3P3++nPn+1 相减得：(1-P)Tn=P+P2+P3++Pn-nPn+1= P(1-Pn) 1-P

∴Tn=

P(1-Pn)

(1-P)2

-

nPn+1

1-P

∴Sn=[

P(1-Pn)

(1-P)2

-

nPn+1

1-P

]lnP．
（3）当P=

7

10

时，lnP＜0，令最小项为第n项，则：

bn≤bn-1 bn≤bn+1 ， nPnlnP≤(n-1)Pn-1lnP nPnlnP≤(n+1)Pn+1lnP ∴ nP≥n-1 n≥(n+1)P ，即： 7n≥10n-10 10n≥7n+7

∴ 7 3 ≤n≤ 10 3 ∴n=3

即数列{b_n}中的最小项为第3项．

点评：此题考查了等比数列的定义，已知数列的前n项和求数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，不等式的求解．