Question

6．函数y=$\sqrt{12-2x}$+$\sqrt{x-1}$的最大值为$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，利用三角换元法，利用辅助角公式进行求解即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{12-2x≥0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≤6}\\{x≥1}\end{array}\right.$，即1≤x≤6，
即函数的定义域为[1，6]．
y=$\sqrt{12-2x}$+$\sqrt{x-1}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{6-x}$+$\sqrt{x-1}$，
∵x-1+6-x=5，
∴令x-1=5sin²α，则6-x=5cos²α，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
则y=$\sqrt{2}$•$\sqrt{5co{s}^{2}α}$+$\sqrt{5si{n}^{2}α}$=$\sqrt{10}$cosα+$\sqrt{5}$sinα，
=$\sqrt{15}$（$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}$cosα+$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}$sinα）
=$\sqrt{15}$（$\frac{\sqrt{6}}{3}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα），
令sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则函数y=$\sqrt{15}$（sinθcosα+cosθsinα）=$\sqrt{15}$sin（α+θ）≤$\sqrt{15}$，
故函数的最大值为$\sqrt{15}$，
故答案为：$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用三角换元法，结合三角函数的辅助角公式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．