Question

（2004•河西区一模）如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为2a，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2a，E，D分别是BC，AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC∥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）求点E到平面B₁C₁D的距离；
（Ⅲ）求二面角C₁-B₁D-A₁的大小．

Answer 1

分析：（I）由题意知BC∥B₁C₁，结合线面平行的判定定理可得：BC∥平面B₁C₁D；
（II）由BC∥面B₁C₁D．∴点C到面B₁C₁D的距离等于点E到面B₁C₁D的距离，取A₁C₁中点F，连CF交B₁D于点G．可证得CG⊥面B₁C₁D，即CG为点E到平面B₁C₁D的距离，由射影定理可得答案．
（III）取A₁B₁的中点H，连C₁H，C₁H⊥A₁B₁，过H作HM⊥B₁D于M，连C₁M，可得∠C₁MH为二面角C₁-B₁D-A₁的平面角． 结合△B₁HM∽△B₁DA₁，可得答案．

解答：证明：（I）由题意知BC∥B₁C₁，（1分）
又B₁C₁?面B₁C₁D，BC?面B₁C₁D（3分）
∴BC∥平面B₁C₁D，（4分）
解：（II）∵BC∥面B₁C₁D．
∴点C到面B₁C₁D的距离等于点E到面B₁C₁D的距离．  （5分）
取A₁C₁中点F，连CF交B₁D于点G．
∵AC=AA₁，
∴四边形CAA₁C₁是正方形，又F、D分别是A₁C₁，A₁A中点，
∴CF⊥C₁D即CG⊥C₁D，（6分），
又∵B₁C₁⊥C₁C，B₁C₁⊥A₁C₁，
故B₁C₁⊥面C₁CAA₁，于是B₁C₁⊥CG，CG⊥面B₁C₁D，
∴CG为点E到平面B₁C₁D的距离  （7分）
∵CF=

5

a，由射影定理知C

C

2 1

=CG?CF，∴CG=

C C 2 1

CF

=

4 5

5

a（8分）
（III）取A₁B₁的中点H，连C₁H，C₁H⊥A₁B₁，∵ABC-A₁B₁C₁为直棱柱．
∴C₁H⊥面ABB₁A₁，过H作HM⊥B₁D于M，连C₁M，
则C₁M⊥B₁D，∴∠C₁MH为二面角C₁-B₁D-A₁的平面角．  （10分）
∵C1H=

1

2

A1B1=

2

a，B1D=

A1 B 2 1 +A1D2

=3a，
又∵△B₁HM∽△B₁DA₁，
∴

HM

B1H

=

A1D

B1D

，∴HM=

A1D

B1D

•B1H=

2

3

a，
∴tan∠C1MH=

C1H

HM

=3，
即二面角C₁-B₁D-A₁为arctan3．  （12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，线面平面及点到平面的距离，是空间立体几何的综合应用，难度中档．