题目内容

离心率e=
5
-1
2
的椭圆称为“优美椭圆”，a，b，c分别表示椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距长，则满足“优美椭圆”的是（　　）
分析：通过椭圆的离心率，构造离心率的方程，然后推出a、b、c的关系，即可得到选项．
解答：解：因为离心率e=
5
-1
2
的椭圆称为“优美椭圆”，
所以e=
5
-1
2
是方程e2+e-1=0的正跟，
即有(
c
a
)2+
c
a
-1=0，
可得c2+ac-a2=0，又c2=a2-b2，
所以b2=ac．
即b是a，c的等比中项．
故选B．
点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，构造法是解得本题的关键，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
定义：离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（c，0），p为椭圆E上任意一点．
（1）试证：若a、b、c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）若E为黄金椭圆；问：是否存在过点F，P的直线l；使l与y轴的交点R满足
RP
=-2
PF
；若存在，求直线l的斜率K；若不存在，说明理由．
我们称离心率e=
5
-1
2
的椭圆叫做“黄金椭圆”，若
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)为黄金椭圆，以下四个命题：
（1）长半轴长a，短半轴长b，半焦距c成等比数列．
（2）一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形．
（3）以两条通经的4个端点为顶点的四边形为正方形．
（4）P、Q为椭圆上任意两点，M为PQ中点，只要PQ与OM的斜率存在，必有kPQ•kOM的定值．
其中正确命题的序号为
（1）（2）（3）（4）
（1）（2）（3）（4）
．
定义：离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）设E为“黄金椭圆”，问：是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R满足
RP
=-2
PF2
？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）设E为“黄金椭圆”，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于N，求
|PM|
|PN|
的值．
定义：离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）没E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足
RP
=-2
PF
？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）已知椭圆E的短轴长是2，点S（0，2），求使
SP
2取最大值时点P的坐标．
定义：离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”，已知E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（c，0）（c＞0），则E为“黄金椭圆”是a，b，c成等比数列的（　　）

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