题目内容

椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求证： $数学公式$ ；
（2）若直线l的斜率为1，且点（0，-1）在椭圆C上，求椭圆C的方程．

（1）证明：由题设，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，
所以， $\text{[math]}$ ．
（2）解：由点（0，-1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+1）y²-2cy-1=0，（*）
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
于是有 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用等差数列的性质，结合椭圆的定义，即可证得结论；
（2）设出椭圆的方程，直线方程与椭圆方程联立，计算|AB|，利用（1）的结论，即可求得椭圆的标准方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，解题的关键是利用椭圆的定义求弦长．

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=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与y=x+2相切．
（1）求a与b；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F₁和F₂，直线l过F₂且与x轴垂直，动直线l₂与y轴垂直，l₂交l₁与点P．求PF₁线段垂直平分线与l₂的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．

给出以下5个命题：
①曲线x²-（y-1）²=1按

=(1，-2)平移可得曲线（x+1）²-（y-3）²=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|

|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是该椭圆上的任意一点，延长F₁P到点M，使|F₂P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量

夹角为锐角θ，且满足 |

=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的离心率为

且经过点P(1，

)．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

（2011•重庆一模）给出以下4个命题：
①曲线x²-（y-1）²=1按

=（1，-2）平移可得曲线（x+1）²-（y-3）²=1；
②若|x-1|+|y-1|≤1，则使x-y取得最小值的最优解有无数多个；
③设A、B为两个定点，n为常数，|

|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
④若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是该椭圆上的任意一点，延长F₁P到点M，使|F₂P|=|PM|，则点M的轨迹是圆．
其中所有真命题的序号为

（本题12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且

（I）求椭圆C₁的方程；（II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。