Question

1．椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点为F₁、F₂，点P为这个椭圆上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P横坐标的取值范围是（-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）．

Answer 1

分析 设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F₁PF₂是钝角推断出PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²，代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．

解答 解：设P（x，y），则F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0），
∵∠F₁PF₂是钝角，∴cos∠F₁PF₂＜0，
∴PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²，
∴（x+2$\sqrt{3}$）²+y²+（x-2$\sqrt{3}$）²+y²＜48，
∴x²+y²＜18，
∴x²+4（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）＜18，
∴x²＜$\frac{32}{3}$，解得-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$＜x＜$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：（-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式，∠F₁PF₂是钝角推断出PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²，是解题关键，属中档题．